Question

设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余．记为a≡b（bmodm）．已知a=1+

C

1 10

+

C

2 10

•2+

C

3 10

•22+…+

C

10 10

•29，b≡a（bmod10），则b的值可以是（　　）

A．2015

B．2011

C．2008

D．2006

Answer 1

分析：根据已知中a和b对模m同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a的个位，结合b=a（bmod10），比照四个
答案中的数字，结合得到答案．

解答：解：∵已知a=1+

C

1 10

+

C

2 10

•2+

C

3 10

•22+…+

C

10 10

•29，
∴2a=1+2

C

1 10

+2²

C

2 10

+2³

C

3 10

+…+2¹⁰

C

10 10

=1+（1+2）¹⁰，
∴a=1+

C

1 10

+

C

2 10

•2+

C

3 10

•22+…+

C

10 10

•29=

1

2

+

1

2

（1+2）¹⁰ =

1

2

（3¹⁰+1）．
而3¹⁰=9⁵=（10-1）⁵=

C

0 5

•10⁵-

C

1 5

•10⁴+

C

2 5

•10³-

C

3 5

•10²+

C

4 5

•10-1，
故a=

1

2

（3¹⁰+1）=

1

2

（

C

0 5

•10⁵-

C

1 5

•10⁴+

C

2 5

•10³-

C

3 5

•10²+

C

4 5

•10）的个位为5，
∴a除以10的余数为5．
而 b≡a（bmod10），故b≡a（bmod10），故b除以10的余数为5，
结合所给的选项，应选A，
故选A．

点评：本题考查的知识点是同余定理、二项式定理，其中正确理解a和b对模m同余，是解答本题的关键，同时利用
二项式定理求出a的个位，也很关键，属于中档题．