题目内容

△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量 $数学公式$ ， $数学公式$ =（2sin²（ $数学公式$ ），-1）， $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ．
（I）求角B的大小；
（II）若 $数学公式$ ，求△ABC的周长的最大值．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（2分）
∴ $\text{[math]}$ ．
即2cosB+sin2B+1-sin2B=0，∴ $\text{[math]}$ ，又B∈（0，π），∴ $\text{[math]}$ ． …（6分）
（II）由正弦定理可得： $\text{[math]}$ ，又由（I）可知 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．…（8分）
所以△ABC的周长为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（10分）
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 时，△ABC的周长有最大值为 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（I）由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，再由B∈（0，π）求得B的值．
（II）由正弦定理可得 $\text{[math]}$ ，求得△ABC的周长为 $\text{[math]}$ ，化简为 $\text{[math]}$ ，由此求得△ABC的周长有最大值
点评：本题主要考查余弦定理的应用，两个向量垂直的性质，两角和的正弦公式，属于中档题．