题目内容
已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3．（Ⅰ）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）求证：△ABC是钝角三角形；
（Ⅲ）试问△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．
分析：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，欲证函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数，只须证明其导数f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）先设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，欲证：△ABC是钝角三角形，只须证明其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须证明：
•
＜0即得；
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是|
|=|
|，再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计算，如出现矛盾，则△ABC不可能为等腰三角形，如不矛盾，则△ABC能是等腰三角形．
（Ⅱ）先设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，欲证：△ABC是钝角三角形，只须证明其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须证明：
| BA |
| BC |
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是|
| BA |
| BC |
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，∴f′(x)=
-(a+1)=
＜0恒成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数．（3分）
（Ⅱ）证明：据题意A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，
由（Ⅰ）知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
（4分）
可得A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线
（反证法：否则2ex2=ex1+ex3≥2
=2ex2，得x1=x3）
∴
=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，
=(x3-x2，f(x3)-f(x2)
∴
•
=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]（6分）
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
•
＜0，∴∠B∈(
，π)
即△ABC是钝角三角形（8分）
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是|
|=|
|
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2∵x2-x1=x3-x2∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
即2f（x2）=f（x1）+f（x3）?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2?2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)?(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)?e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?2ex2=ex1+ex3①（11分）
而事实上，ex1+ex3≥2
=2ex2②
由于ex1＜ex3，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分）
| aex |
| 1+ex |
| -(a+1)-ex |
| 1+ex |
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数．（3分）
（Ⅱ）证明：据题意A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，
由（Ⅰ）知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
| x1+x3 |
| 2 |
可得A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线
（反证法：否则2ex2=ex1+ex3≥2
| ex1+x3 |
∴
| BA |
| BC |
∴
| BA |
| BC |
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
| BA |
| BC |
| π |
| 2 |
即△ABC是钝角三角形（8分）
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是|
| BA |
| BC |
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2∵x2-x1=x3-x2∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
即2f（x2）=f（x1）+f（x3）?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2?2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)?(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)?e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?2ex2=ex1+ex3①（11分）
而事实上，ex1+ex3≥2
| ex1+x3 |
由于ex1＜ex3，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分）
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、数量积表示两个向量的夹角、两点间距离公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
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