Question

f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a₁=

1

2

，an=f(n)(n∈N*)，则数列{a_n}的前n项和S_n为（　　）

• A．Sn=

  1

  2

  -

  1

  2n+1

• B．Sn=1-

  1

  2n+1

• C．Sn=1-

  1

  2n

• D．Sn=

  1

  2

  -

  1

  2n

Answer 1

分析：依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

的等比数列，进而可以求得S_n 的解析式．

解答：解：f（2）=f²（1），f（3）=f（1）f（2）=f³（1），
f（4）=f（1）f（3）=f⁴（1），a₁=f（1）=

1

2

，
∴f（n）=（

1

2

）ⁿ，故数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

的等比数列．
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

点评：本题主要考查等比数列的求和公式，抽象函数的应用，属于中档题．