Question

已知定义在R上的函数是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴，
解得b=1，（1分）
∴，
∴
∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对一切实数x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴，
f（x）在R上是减函数．（4分）
证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则
=-，
∵x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的减函数，
∴t-2t²＜k（10分）
∴对t∈R恒成立，
∴．（12分）
分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．
（2），f（x）在R上是减函数．证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，=-，由此能够证明f（x）在R上是减函数．
（3）不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，等价于f（t-2t²）＞f（k），由f（x）是R上的减函数，知t-2t²＜k，由此能求出实数k的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．