题目内容
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点.(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角E-AC-D的大小;
(Ⅲ)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)先依据线面垂直的性质证明BC⊥PA,同理证明CD⊥PA,再依据线面垂直的判定定理得出 PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)利用三垂线定理找出二面角的平面角,并加以证明,把此角放到直角三角形中,利用直角三角形中的边角关系解出此角.
(Ⅲ)要使得点E到平面PAF的距离为,即要点D到平面PAF的距离为,过D作AF的垂线DG,由面面垂直的性质知,DG为点D到平面PAF的距离,可求DG的长度,由直角三角形相似可求BF=1.
解答:解:(Ⅰ)证明:∵底面ABCD为正方形,
∴BC⊥AB,又BC⊥PB,
∴BC⊥平面PAB,
∴BC⊥PA.(2分)
同理CD⊥PA,(4分)
∴PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解:设M为AD中点,连接EM,
又E为PD中点,
可得EM∥PA,从而EM⊥底面ABCD.
过M作AC的垂线MN,垂足为N,连接EN.
由三垂线定理有EN⊥AC,
∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角.(7分)
在Rt△EMN中,可求得,
∴.(9分)
∴二面角E-AC-D的大小为.(10分)
(Ⅲ)解:由E为PD中点可知,
要使得点E到平面PAF的距离为,即要点D到平面PAF的距离为.
过D作AF的垂线DG,垂足为G,
∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAF⊥平面ABCD,
∴DG⊥平面PAF,即 DG为点D到平面PAF的距离.
∴,∴.(12分)
设BF=x,由△ABF与△DGA相似可得 ,
∴,即 x=1.
∴在线段BC上存在点F,且F为BC中点,使得点E到平面PAF的距离为.
点评:本题考查证明线面垂直的证明方法,求二面角的大小的方法,求点到面的距离及开放型问题的解决方法.
(Ⅱ)利用三垂线定理找出二面角的平面角,并加以证明,把此角放到直角三角形中,利用直角三角形中的边角关系解出此角.
(Ⅲ)要使得点E到平面PAF的距离为,即要点D到平面PAF的距离为,过D作AF的垂线DG,由面面垂直的性质知,DG为点D到平面PAF的距离,可求DG的长度,由直角三角形相似可求BF=1.
解答:解:(Ⅰ)证明:∵底面ABCD为正方形,
∴BC⊥AB,又BC⊥PB,
∴BC⊥平面PAB,
∴BC⊥PA.(2分)
同理CD⊥PA,(4分)
∴PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解:设M为AD中点,连接EM,
又E为PD中点,
可得EM∥PA,从而EM⊥底面ABCD.
过M作AC的垂线MN,垂足为N,连接EN.
由三垂线定理有EN⊥AC,
∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角.(7分)
在Rt△EMN中,可求得,
∴.(9分)
∴二面角E-AC-D的大小为.(10分)
(Ⅲ)解:由E为PD中点可知,
要使得点E到平面PAF的距离为,即要点D到平面PAF的距离为.
过D作AF的垂线DG,垂足为G,
∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAF⊥平面ABCD,
∴DG⊥平面PAF,即 DG为点D到平面PAF的距离.
∴,∴.(12分)
设BF=x,由△ABF与△DGA相似可得 ,
∴,即 x=1.
∴在线段BC上存在点F,且F为BC中点,使得点E到平面PAF的距离为.
点评:本题考查证明线面垂直的证明方法,求二面角的大小的方法,求点到面的距离及开放型问题的解决方法.
练习册系列答案
相关题目