Question

已知离心率为的椭圆+=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点P，点F是椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M（m，0），使过M且与椭圆交于R、S两点的任意直线l，均满足∠RFP=∠SFP？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵e=，∴a=2c，b=，
设椭圆的方程为，
直线AB的方程为y=-，
由得x²-x+1-3c²=0，
由题意知△=1-4（1-3c²）=0，
∴c=，椭圆的方程为．
（Ⅱ）假设存在满足条件的点M，易知直线l的斜率不存在时，不合题意，
故设其斜率为k，则l的方程是y=k（x-m），
由，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则，
∵，∴PF⊥x轴，
∵∠RFP=∠SFP，∴k_RF+k_SP=0，
∴=
=
=0，
∴m=2．
∴m=2时，存在满足条件的点M（2，0）．
分析：解（Ⅰ）由e=，知a=2c，b=，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设l的方程是y=k（x-m），由，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则，由PF⊥x轴，∠RFP=∠SFP，知k_RF+k_SP=0，由此能导出m=2时，存在满足条件的点M（2，0）．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．