Question

某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．
（1）若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率；
（2）记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

解：（1）由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质量和形状无关．
由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3：2：1，面积比为9：4：1，
所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5：3：1，
则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k，3k，k
根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1，解得k=0.1． …（3分）
所以，这位同学向圆形靶投掷1次飞镖，落在9环区域内的概率为0.3，
设向圆形靶投掷3次飞镖，恰有2次落在9环区域内为事件A，则P（A）=．…（6分）
（2）随机变量X的取值为0，8，9，10，…（7分）
P（x=0）=0.1，P（x=8）=0.5，P（x=9）=0.3，P（x=10）=0.1，
所以，离散型随机变量X的分布列为：

X	0	8	9	10
P	0.1	0.5	0.3	0.1

…（11分）
E（X）=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7． …（12分）
分析：（1）求得8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5：3：1，可得掷得8环、9环、10环的概率比，根据离散型随机变量分布列的性质，可求这位同学向圆形靶投掷1次飞镖，落在9环区域内的概率，从而可求这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率；
（2）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得分布列与期望．
点评：本题考查几何概型，考查离散型随机变量分布列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．