Question

设命题P：对任意实数，不等式x²-2x＞m恒成立；命题：方程表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q””为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）命题q为真命题，得方程表示焦点在x轴上的双曲线，说明x²的分母为正数且y²的分母为负数．联列不等式组，解之即得实数m的取值范围；
（2）先找出命题p真时，实数m的取值范围，再由“p∨q为真命题，p∧q为假命题”，说明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，分这两种情况讨论，最后综合可得实数的取值范围．
解答：解：（1）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则
即命题q为真命题时，实数m的取值范围是（5，+∞）（5分）
（2）若命题p真，即对任意实数，不等式x²-2x-m＞0恒成立．
∴△=4+4m＜0，可得m＜-1
p∨q为真命题，p∧q为假命题，说明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，
①如果“p真q假”成立，则有（9分）
②如果“p假q真”成立，则有（12分）
所以实数的取值范围为m＜-1或m＞5（13分）
点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的标准方程和一元二次不等式的解集等知识点，属于基础题．