Question

已知抛物线的顶点是坐标原点，其准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）的一个焦点，且两曲线的交点为（

3

2

，±

6

），试求双曲线的方程．

Answer 1

分析：根据抛物线的标准方程的准线过双曲线的焦点，可得p与c的关系式，再利用抛物线与双曲线同过交点（

3

2

，±

6

），列出方程，求出c、p的值，最后结合双曲线：a²+b²=c²，求得a，b即可得到双曲线的方程．

解答：解：由题设知，顶点是坐标原点的抛物线的标准方程中，
其抛物线必定是以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，
∴p=2c．
设抛物线方程为y²=4c•x，
∵抛物线过点（

3

2

，±

6

），∴6=4c•

3

2

．
∴c=1，故抛物线方程为y²=4x．
将点（

3

2

，±

6

）的坐标代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

9

4a2

-

6

b2

=1．且a²+b²=c²=1，
∴

9

4a2

-

6

1-a2

=1．
∴a²=

1

4

或a²=9（负值舍去）．
∴b²=

3

4

，
故所求双曲线方程为：4x²-

4y2

3

=1．

点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法、圆锥曲线的共同特征、待定系数法、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．