Question

利用单调性的定义证明函数f(x)=-

2

x+1

在区间[0，2]上是增加的．

Answer 1

分析：用单调性的定义证明f（x）在区间[0，2]上是增加的，基本步骤为：一取值，二作差，三判正负，四下结论．

解答：证明：设x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

2

x1+1

-（-

2

x2+1

）=

2

x2+1

-

2

x1+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵0≤x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间[0，2]上是增函数．

点评：本题考查了用单调性的定义证明函数是增函数，属于基础题．