题目内容

(08年赤峰二中模拟理)  已知正三棱柱ABC - A1B1C1中, AA1 = 2AC = 4, 延长CB至D, 使CB = BD.

   (I)求证: 直线C1B // 平面AB1D;

   (II)求平面AB1D与平面ACB所成角.

 

解析:法一: (Ⅰ) 因为 C1B1 = CB = DB, 且C1B1 // BD,

∴ 四边形C1BDB1是平行四边形,

∴ C1B // B1D,

又B1D Ì 平面AB1D,

∴ 直线C1B // 平面AB1D.

(Ⅱ) 过B1作B1H ^ AD于H, 连结BH.

∵ B1B ^ 平面ACD,

∴ BH ^ AD

∴ Ð B1HB是平面AB1D平面ACB所成角的平面角.

在△ACD中, 由于CB = BD = BA,

∴ ∠DAC = 90°,

∴ BH =AC,

∵ AA1 = 2AC = 4,

∴ tanÐB1HB == 4,

∴ 平面AB1D平面ACB所成角为arctan4.

 

法二: 在△ACD中, 由于CB = BD = BA,

∴ ∠DAC=90°,

如图, 以A为原点, 以AD为x轴正向, 建立空间直角坐标系O - xyz,

∵ 正三棱柱ABC - A1B1C1中, AA1 = 2AC = 4,

∴ A(0, 0, 0), B(, 1, 0), B1(, 1, 4),

C1(0, 2, 4), D(2, 0, 0).

(Ⅰ) ∵= (-, 1, 4),= (-, 1, 4),

//

又BC1 Ë 平面AB1D, B1D Ì 平面AB1D,

∴ 直线C1B // 平面AB1D.

(Ⅱ) =(2, 0, 0), = (, 1, 4), 设平面AB1D的法向量n = (x, y, z), 则

, 即 , ∴ ,

z = 1, 则n = (0, - 4, 1), 取平面ACB的法向量为m = (0, 0, 1),

则cos<n, m> =,

∴ 平面AB1D与平面ACB所成角为arccos.

          

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