Question

(本题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆x²+y²=1上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使

．

       (i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

(ii)求OA²+OB²．

Answer 1

解：

(1)依题意，得  c=1．于是，a=，b=1．     ……………………………………2分

所以所求椭圆的方程为． ………………………………………………4分

(2) (i)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则①，②．

又设M(x，y)，因，故 …………7分

因M在椭圆上，故．

整理得．

将①②代入上式，并注意，得  ．

所以，为定值． ………………………………………………10分

(ii)，故．

又，故．

所以，OA²+OB²==3．  …………………………………………16分