题目内容

已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为S（x），则函数S（x）的最大值为；最小正周期为．
说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．

8 $\text{[math]}$
分析：由题意判断俯视图的图形的形状，推出最大值时的位置，即可求解结果．
解答：由题意可知，正三棱柱的底面三角形的高为 $\text{[math]}$ ，正三角形的边长为2，
俯视图是矩形，当此三棱柱绕直线OO′旋转，在旋转过程中对应的俯视图，底面正三角形的边在俯视图中为矩形的边长时，俯视图的面积最大，令俯视图的面积为S，则S的最大值为：2×4=8．
因为正三角形的内角均为60°，所以函数S（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$
故答案为：8， $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查三视图与直观图的关系，解题的关键是判断俯视图的图形的形状，推出最大值时的位置．

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如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞2），动点M在侧棱BB₁上移动．设AM与侧面BB₁C₁C所成的角为θ．
（1）当θ∈[

]时，求点M到平面ABC的距离的取值范围；
（2）当θ=

时，求向量

夹角的大小．

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每条棱长均为a，M为棱A₁C₁上的动点．
（1）当M在何处时，BC₁∥平面MB₁A，并证明之；
（2）在（1）下，求平面MB₁A与平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB₁M体积的最大值．

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C=10，
（1）若D为AC的中点，求证：AB₁∥平面C₁BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB₁，当λ为何值时，AP∥平面C₁BD；
（3）在（1）的条件下，求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求二面角B-AB₁-D的正切值．

（2009•湖北模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为棱A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点C₁到面PAC的距离．