Question

已知函数f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量

OP

=（b+5，5a）．
（1）求a，b的值，并求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正整数m，使得方程f(x)=6x-

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在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，且在x=2处的切线斜率值k，求导，可得1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=k，解方程组即可求得，a，b的值，从而求得f（x）的解析式；
（2）先把方程f(x)=6x-

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等价于18x3-36x2+19=0，在求出g（x）的导函数，判断出g（x）的图象变化规律，再利用零点存在性定理即可判断是否存在正整数m满足要求．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴

f′(1)=0 f′(2)= 5a b+5

解得

a=6 b=-4

…（4分）
得f（x）=6x³-12x²+6x+1
∴f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1），
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜

1

3

，即f(x)在(1，+∞)和(-∞，

1

3

)上单调递增．
由f′(x)＜0，得

1

3

＜x＜1，即f(x)在(

1

3

，1)上单调递减 …（8分）
（2）方程f(x)=6x-

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等价于18x3-36x2+19=0
令g（x）=18x³-36x²+19
则g′(x)=54x2-72x=18x(3x-4)．令g′(x)=0，得x=0或x=

4

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．
当x∈(0，

4

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)时，g′(x)＜0，∴g（x）是单调减函数；
当x∈(

4

3

，+∞)时，g′(x)＞0，∴g（x）是单调增函数；
∵g(1)=1＞0，g(

4

3

)=-

7

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＜0，g(2)=19＞0．
∴方程g(x)=0在区间(1，

4

3

)，(

4

3

，2)内分别有唯一实根．…（12分）
∴存在正整数m=1，使得方程f(x)=6x-

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在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数根．…（14分）

点评：此题是中档题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，和利用导数研究曲线上某点的切线问题，体现了数形结合和转化的思想，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．