题目内容

已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，且f（x）＞0，证明g（x）=1+
2f(x)
在M内为增函数．
分析：已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，可知对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2），则可知
1
f(x1)
＜
1
f(x2)
，进而判断函数g（x）的单调性．
解答：解：已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，
可知对任意的x1＜x2，
有f（x1）＞f（x2），（5分0
又f（x）＞0，
则可知
1
f(x1)
＜
1
f(x2)
，（7分）
则对任意的x1＜x2，
有 g(x1) -g(x2)=
2
f(x1)
-
2
f(x2)
＜0，（10分）
故g（x）=1+
2
f(x)
在M内为增函数．（12分）
点评：此题主要考查函数单调性的证明．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）在其定义域上满足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函数y=f（x）的图象是否是中学对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
②当f（x）∈[
1
2
，
4
5
]时，求x的取值范围；
③若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么若0＜an+1≤f（an）正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
1
10
恒成立，求最小的N．
已知函数f（x）在其定义域上满足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当f(x)∈[
1
2
，
4
5
]时，求x的取值范围；
（3）若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
1
10
恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求证：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
3
7
．

已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，且f（x）＞0，证明g（x）=1+数学公式在M内为增函数．
已知函数f（x）在其定义域上满足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求证：．

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