Question

设f（x）是R上的奇函数，对任意实数x都有f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³
（1）求证：x=1是函数f（x）的一条对称轴
（2）证明函数f（x）是以4为周期的函数，并求x∈[1，5]时，f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据f（x+2）=-f（x）=f（-x）对任意实数X成立即可得到结论；
（2）根据f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）即可得到 f（x）是以4为最小正周期的周期函数；再结合对称轴以及周期即可求出x∈[1，5]时，f（x）的解析式．
解答：解：（1）证明：因为奇函数，所以f（x+2）=-f（x）=f（-x）对任意实数X成立．
又因为x+2，-x关于直线x=1对称，
故：直线x=1是函数f（x）图象上的一条对称轴
（2）证明：因为：f（x+2）=-f（x）
所以：f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以4为最小正周期的周期函数因为：直线x=1是函数f（x）图象上的一条对称轴；
所以：1≤x≤3的图象与-1≤x≤1的图象关于直线x=1对称．
故：f（x）=-（x-2）³，1≤x≤3；
∵f（x）是以4为最小正周期的周期函数
∴3≤x≤5的图象与-1≤x≤1的图象
∴f（x）=（x-4）³，3≤x≤5．
∴f（x）=．
点评：本题主要考查了函数的周期性以及奇偶性，对称性．要特别利用好题中的关系式f（x+2）=-f（x）．