Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅱ）求直线A₁B₁与平面A₁DC的所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BC₁∥平面CA₁D，必须证明BC₁∥平面CA₁D内的一条直线，因而连接AC₁与A₁C的交点E与D，证明即可；
（Ⅱ）由VB1-A1DC=VC-A1B1D可求点B₁到平面A₁DC的距离，即可求直线A₁B₁与平面A₁DC的所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：连接BC₁，连接AC₁交A₁C于E，连接DE，则E是AC₁中点，
∵D是AB中点，∴DE∥BC₁，
又∵DE?面CA₁D，BC₁?面CA₁D，
∴BC₁∥面CA₁D；
（Ⅱ）设点B₁到平面A₁DC的距离为h，则
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，D为棱AB的中点，AC=BC=BB₁=2，
∴A₁D=

5

，CD=

3

，A₁C=2

2

，
∴由勾股定理可得CD⊥A₁D，
∵AB∩A₁D=D，
∴CD⊥平面A₁B，
由VB1-A1DC=VC-A1B1D可得

1

3

•

1

2

•2

2

•2•

3

=

1

3

•

1

2

•

5

•

3

•h，
∴h=

4 10

5

，
∴直线A₁B₁与平面A₁DC的所成角的正弦值为

4 10 5

2 2

=

2 5

5

．

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查线面平行，考查线面角，正确运用线面平行的判定，求出点B₁到平面A₁DC的距离是关键．