Question

已知常数a为正实数，在曲线C_n：y=

nx

上一点P（x_n，y_n）处的切线L_n总经过定点（-a，0），（n∈N^*）．求证点列：P₁，P₂，…，P_n在同一直线上．（关键是：P_i在同一直线上有三种情况：①x_i相同；②y_i相同；③

yi

xi

为常数）

Answer 1

分析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=x_n处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．写出切线方程，由P_n（a，

na

）在曲线C_n上可得x_n=a，yn=

na

，可证P总在直线x=a上，即P₁，P₂，，P_n在同一直线上，从而问题解决．
（法二）：由切线过点（-a，0）得切线方程为y=k_n（x+a），由方程组

y=kn(x+a) y2=nx(y≥0)

可得k_n²x²+（2ak_n²-n）x+k_n²a²=0，由△=0可得k_n²=

n

4a

，代入到方程中可求得x_n=a，即可证

解答：证法一：f（x）=

nx

∴f′(x)=

1

2 nx

•(nx)′=

1

2

•

n x

（3分）
C_n：y=

nx

上一点P（x_n，y_n）处的切线L_n的斜率k_n=f'（x_n）=

1

2

•

n xn

L_n的方程为y-y_n=

1

2

•

n xn

(x-xn)（7分）
∵L_n经过点（-a，0）
∴yn=-

1

2

(-a-xn)=

1

2

n xn

（a+x_n）
又∵P_n在曲线C_n上，
∴yn=

nxn

=

1

2

n xn

(a+xn)
∴x_n=a，yn=

na

∴P(a，

na

)总在直线x=a上（10分）
即P₁，P₂，…，P_n在同一直线x=a上 （14分）
证法二：设切线L_n的斜率为k_n，
由切线过点（-a，0）得切线方程为y=k_n（x+a）（3分）
则方程组

y=kn(x+a) y2=nx(y≥0)

的解为

x=xn y=yn

，
用代入法消去y化简得k_n²x²+（2ak_n²-n）x+k_n²a²=0（*）；（7分）
有△=（2ak_n²-n）²-4k_n²•k_n²a²=-4ank_n²+n²=0∴k_n²=

n

4a

即

n

4a

x2+(2a•

n

4a

-n)x+

n

4a

•a2=0即x2-2a•x+a2=0（10分）
∴x=a即有x_n=a，y_n=

nxn

=

na

即P₁，P₂，…，P_n在同一直线x=a上  （14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．