题目内容
设x，y满足
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为24，则
+
的最小值为（ ）
|
| 6 |
| a |
| 4 |
| b |
分析：由约束条件
，画出可行域．目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）变形为y=-
x+
．作出函数y=-
x，向上平移，当直线y=-
x+
经过点A时，焦距
取得最大值，求出点A的坐标，即可得出a，b满足的条件，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出答案．
|
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
| z |
| b |
解答：解：设x，y满足
，画出可行域，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）变形为y=-
x+
．
∵a＞0，b＞0，∴-
＜0．
作出函数y=-
x，向上平移，当直线y=-
x+
经过点A时，焦距
取得最大值，
即z取得最大值24．
联立
解得
，即A（4，6）．
∴24=4a+6b，化为12=2a+3b．
∴
+
=
(2a+3b)(
+
)=
(12+
+
)≥
(12+2
)=4，当且仅当3b=2a=6时取等号．
则
+
的最小值为4．
故选A．
|
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）变形为y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
∵a＞0，b＞0，∴-
| a |
| b |
作出函数y=-
| a |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
| z |
| b |
即z取得最大值24．
联立
|
|
∴24=4a+6b，化为12=2a+3b．
∴
| 6 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| 12 |
| 6 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| 6 |
| 9b |
| a |
| 4a |
| b |
| 1 |
| 6 |
|
则
| 6 |
| a |
| 4 |
| b |
故选A．
点评：本题综合考查了线性规划的约束条件和可行域、目标函数、最优解、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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