Question

15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有x•f′（x）+f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-2，2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由题意构造函数g（x）=xf（x）求出g′（x），根据条件判断出g（x）的单调性和奇偶性，由f（2）=0得g（2）=0，结合g（x）单调性判断出各个区间上的符号，从而可得到
f（x）在各个区间上的符号，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

解答 解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=x•f′（x）+f（x），
∵当x＞0时，有x•f′（x）+f（x）＜0，则g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）是R上奇函数，∴函数g（x）是R上的偶函数，
则g（x）在（-∞，0）上单调递增，
又f（2）=0，则g（2）=0，
∴在（0，2）内恒有g（x）＞0；在（2，+∞）内恒有g（x）＜0，
在（-∞，-2）内恒有g（x）＜0；在（-2，0）内恒有g（x）＞0，
∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0，
在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0，
∴不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（2，+∞），
故选：A．

点评 本题考查导数与函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，考查构造函数法，属于中档题．