题目内容
已知函数
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
5.
（1）求实数
的值；
（2）求
在区间
上的最大值；
解：（1）当
时，
∴
………
2分
依题意
∴
∴
……… 3分
又
有
∴， ……… 4分
（2）当时，
，令
有
，∴
，
。……… 5分
当x变化时，
与
的变化情况如下表：
|
|
-1 |
（-1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
1 |
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
2 |
↘ |
|
↗ |
|
↘ |
|
）
；；
；
。
∴当
时，
最大值为2。……… 8分
当
时，
若
，则是减函数，此时
；若
时，
，此时；…… 10分
当
时，是增函数，
。……… 11分
∵当
时，有
当
时，有
………
12分
∴
【解析】略
的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
的值； 
在区间
上的最大值；
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由.已知函数
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由.
【解析】第一问当
时，
，则
。
依题意得：
，即
解得
第二问当
时，
，令
得
，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设
，则
，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
（Ⅰ）当时，，则。
依题意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①当时，，令得
当
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
|
单调递减又
，
，
。∴在
上的最大值为2.
②当
时, 
.当
时, 
,最大值为0；
当
时, 在
上单调递增。∴在最大值为
。
综上，当
时，即
时，在区间上的最大值为2；
当
时，即
时，在区间上的最大值为。
（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设，则，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若
，则
代入（*）式得：
即
，而此方程无解，因此
。此时
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，则
∴
在
上单调递增， ∵ ∴
,∴
的取值范围是
。
∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。
因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上
的图象过坐标原点O, 且在点
处的切线的斜率是
.（1）求实数
的值； （2）求
在区间
上的最大值