Question

（2012•海淀区一模）对于集合M，定义函数fM(x)=

-1，x∈M 1，x∉M.

对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）写出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据定义直接得答案；
（Ⅱ）对于已知集合E、F，①若a∈E且a∉F，则Card（E△（F∪{a}）=Card（E△F）-1；
②若a∉E且a∉F，则Card（E△（F∪{a}）=Card（E△F）+1，据此结论找出满足条件的集合，从而求出Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．
（Ⅲ）由P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．

解答：解：（Ⅰ）结合所给定义知，f_A（1）=1，f_B（1）=-1，A△B={1，6，10，16}．
（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C，X，
①若a∈C且a∉X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）-1；
②若a∉C且a∉X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）+1．
所以 要使Card（X△A）+Card（X△B）的值最小，2，4，8一定属于集合X；
1，6，10，16是否属于X不影响Card（X△A）+Card（X△B）的值，但集合X不能含有A∪B之外的元素．
所以 当X为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．
所以Card（X△A）+Card（X△B）的最小值
（Ⅲ）因为 A△B={x|f_A（x）•f_B（x）=-1}，
所以 A△B=B△A．
由定义可知：f_A△B（x）=f_A（x）•f_B（x）．
所以 对任意元素x，f_{（A△B）△C}（x）=f_A△B（x）•f_C（x）=f_A（x）•f_B（x）•f_C（x），
f_{A△（B△C）}（x）=f_A（x）•f_B△C（x）=f_A（x）•f_B（x）•f_C（x）．
所以 f_{（A△B）△C}（x）=f_{A△（B△C）}（x）．
所以 （A△B）△C=A△（B△C）．
由 （P△A）△（Q△B）=A△B知：（P△Q）△（A△B）=A△B．
所以 （P△Q）△（A△B）△（A△B）=（A△B）△（A△B）．
所以 P△Q△∅=∅．
所以 P△Q=∅，即P=Q．
因为 P，Q⊆A∪B，
所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为2⁷=128．

点评：该题是一道与集合相关的信息题，难度较大，高考中很少出现．