Question

已知{

i

，

j

，

k

}是空间的一个基底设

a1

=2

i

-

j

+

k

，

a2

=

i

+3

j

-2

k

，

a3

=-2

i

+

j

-3

k

，

a4

=3

i

+2

j

+5

k

．试问是否存在实数λ，μ，υ，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+υ

a3

成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．

Answer 1

分析：假设存在实数λ，μ，υ使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+υ

a3

成立，代入向量，根据空间向量基本定理可得方程组，解出即可作出判断．

解答：解　假设存在实数λ，μ，υ使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+υ

a3

成立，
则有3

i

+2

j

+5

k

=λ（2

i

-

j

+

k

）+μ（

i

+3

j

-2

k

）+υ（-2

i

+

j

-3

k

）
=（2λ+μ-2υ）

i

+（-λ+3μ+υ）

j

+（λ-2μ-3υ）

k

，
∵{

i

，

j

，

k

}是一组基底，∴

i

，

j

，

k

不共面，

2λ+μ-2v=3 -λ+3μ+v=2 λ-2μ-3v=5

，解得

λ=-2 μ=1 v=-3

，
故存在λ=-2，μ=1，υ=-3使结论成立．

点评：本题考查空间向量基本定理及其意义，考查方程思想，属中档题．