题目内容
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若$\overrightarrow{m}$=(sinA,sinB),$\overrightarrow{n}$=(sinB,sinC),$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1-cos2B.(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=$\frac{2π}{3}$,求$\frac{a}{b}$的值.
分析 (1)由平面向量数量积的运算及二倍角公式可得:$\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B=2{sin^2}B$,结合sinB≠0及正弦定理即可得证.
(2)由(1)可得:c=2b-a,又C=$\frac{2π}{3}$,代入余弦定理即可求得$\frac{a}{b}$的值.
解答 解:(1)证明:$\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B=2{sin^2}B$
∵sinB≠0
∴sinA+sinC=2sinB
∴由正弦定理可得:a+c=2b-----------------(6分)
(2)∵由(1)可得:c=2b-a,又C=$\frac{2π}{3}$,
∴${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC⇒{(2b-a)^2}={a^2}+{b^2}+ab⇒\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$-----------(12分)
点评 本题本题主要考查了平面向量数量积的运算,余弦定理,正弦定理,二倍角公式等知识的应用,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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