题目内容
14.已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求实数k的值;
(2)若不等式的解集是{x|x≠$\frac{1}{k}$},求实数k的值;
(3)若不等式的解集是实数集,求实数k的值.
分析 (1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k的值;
(2)需要分类讨论,当k>0时,开口向上,二次函数小于0总会要限定x范围的,不符合题意,当k<0是,由题意得到△=0,解得即可,
(3)根据题意,得△≤0且k>0,由此求出k的取值范围
解答 解:(1)∵不等式kx2-2x+6k<0的解集是{x|x<-3或x>-2},
∴k<0,且-3和-2是方程kx2-2x+6k=0的实数根,
由根与系数的关系,得;
(-3)+(-2)=$\frac{2}{k}$,
∴k=-$\frac{2}{5}$;
(2)由于k≠0,故可看作二次函数,y=kx2-2x+6k,
当k>0时,开口向上,二次函数小于0总会要限定x范围的,不行;
当k<0是,开口向下,∵kx2-2x+6k<0,
∴△=4-24k2≤0,
∵不等式的解集是{x|x≠$\frac{1}{k}$},
∴△=0,
解得k=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$;
(3)当k=0时,不等式即x>,满足不等式kx2-2x+6k<0的解集为全体实数R.
当k>0时,由二次函数的性质可得不满足kx2-2x+6k<0的解集为全体实数R.
当k<0时,得△<0,即4-24k2<0;
解得k<-$\frac{\sqrt{6}}{6}$
综上可得,实数a的取值范围是 k<-$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |