题目内容
6.已知函数h(x)=aex-ln(x+b),其中a,b为常数,其函数图象在x=0处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x+1-ln2.(1)求a,b的值;
(2)证明:aex>ln(x+b).
分析 (1)利用f'(0)=$\frac{1}{2}$,f(0)=1-ln2,求得a,b.
(2)构造函数G(x)=-x-1,利用导数求解最值得出G(x)≥0,在x≥0恒成立,利用放缩ex>x+1>0⇒x>ln(x+1),得出(x+1)>ln(x+2),即可得证ex>ln(x+2).
解答 解:(1)f'(x)=$a{e}^{x}-\frac{1}{x+b}$
∵f'(0)=$\frac{1}{2}$,即a-$\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$,
又h(0)=1-ln2
即a-lnb=1-ln2.
∴a=1,b=2
(2)证明:令G(x)=ex-x-1,G′(x)=ex-1,
当x∈(0,+∞),G′(x)>0
所以当x∈(0,+∞)时G(x)单调递增;G(x)>G(0)=0(x>0);
所以ex>x+1>0⇒x>ln(x+1),
所以x+1>ln(x+2)
∴ex>x+1>ln(x+2)
点评 本题综合考察了函数的性质,导数在求解函数极值,证明不等式,求解字母的范围问题,难度较大,属于难题.
练习册系列答案
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