Question

如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当

FB

⊥

AB

时，其离心率为

5 -1

2

，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（　　）

• A．

  5 +1

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  5

  +1
• D．

  5

  -1

Answer 1

分析：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当

FB

⊥

AB

时，|BF|²+|AB|²=|AF|²，由此可知b²+c²+c²=a²+c²+2ac，整理得c²=a²+ac，即e²-e-1=0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e．

解答：解：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
当

FB

⊥

AB

时，|BF|²+|AB|²=|AF|²，
∴b²+c²+c²=a²+c²+2ac，
∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，
∴e²-e-1=0，解得 e=

5 +1

2

，或 e=

- 5 +1

2

（舍去）．
故黄金双曲线的离心率e=

5 +1

2

．
故选A．

点评：本题主要考查了类比推理、椭圆的简单性质及双曲线的简单性质．注意寻找黄金双曲线中a，b，c之间的关系，利用双曲线的性质求解．