Question

集合C={f（x）|f（x）是在其定义域上的单调增函数或单调减函数}，集合D={f（x）|f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在a，b上的值域是[ka，kb]，k为常数}．
（1）当k=

1

2

时，判断函数f（x）=

x

是否属于集合C∩D？并说明理由．若是，则求出区间[a，b]；
（2）当k=

1

2

0时，若函数f（x）=

x

+t∈C∩D，求实数t的取值范围；
（3）当k=1时，是否存在实数m，当a+b≤2时，使函数f（x）=x²-2x+m∈D，若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）y=

x

的定义域是[0，+∞），在[0，+∞）上是单调增函数，设y=

x

在[a，b]的值域是[

a

，

b

]，能求出区间是[a，b]．
（2）设g（x）=

x

+t，则g（x）是定义域[0，+∞）上的增函数，由g（x）∈C∩D，知存在区间[a，b]?[0，+∞），满足g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b，由此能求出实数t的取值范围．
（3）由f（x）=x²-2x+m∈D，且k=1，知当a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，由此能推导出m的范围．

解答：解：（1）y=

x

的定义域是[0，+∞），
∵y=

x

在[0，+∞）上是单调增函数，
设y=

x

在[a，b]的值域是[

a

，

b

]，
由

a = 1 2 a b = 1 2 b

，解得

a=0 b=4

，
故函数y=

x

属于集合C∩D，且这个区间是[0，4]．
（2）设g（x）=

x

+t，则g（x）是定义域[0，+∞）上的增函数，
∵g（x）∈C∩D，∴存在区间[a，b]?[0，+∞），满足g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b，
∴方程g（x）=

1

2

x在[0，+∞）内有两个不等实根，
方程

x

+t=

1

2

x在[0，+∞）内有两个不等实根，
令

x

=m，则其化为m+t=

1

2

m2，
即m²-2m-2t=0有两个非负的不等实根，
∴

△=4+8t＞0 x1+x2=2＞0 x1x2=-2t≥0

，解得-

1

2

＜t≤0．
（3）f（x）=x²-2x+m∈D，且k=1，
∴当a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，

b=m-2a+a2 a=m-2b+b2

，
两式相减，得a+b=1，
∴

1-a=m-2a+a2 1-b=m-2b+b2

，

0=m-1-a+a2 0=m-1-b+b2

，
∴方程0=m-1-x+x²在x≤1上有两个不同的解，
解得m∈[1，

5

4

）．

点评：本题考查二次函数的性质的应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．