Question

下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）
（1）PA⊥矩形ABCD所在平面，则P，B两点间的距离等于P到BC的距离；
（2）若a∥b，a?α，b?α，则a与b的距离等于a与α的距离；
（3）直线a，b是异面直线，a?α，b∥α则a，b之间的距离等于b与α之间的距离；
（4）直线a，b是异面直线，a?α，b?β，且α∥β，则a，b之间的距离等于α与β之间的距离．
A．一个
B．二个
C．三个
D．四个

Answer 1

【答案】分析：（1）根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而BC⊥AB，AB∩BC=B，，满足线面垂直的判定定理，得到BC⊥面PAB，而PB?面PAB，则PB⊥BC，从而说明P，B两点间的距离等于P到BC的距离；
（2）可以在正方体中进行列举，如正方体中A₁B₁∥CD，A₁B₁?面ABCD，CD?面ABCD，此时A₁B₁与CD的距离不等于A₁B₁与面ABCD的距离；
（3）由异面直线公垂线与平面α垂直可判定真假；
（4）由异面直线公垂线与两个平面垂直可以判断真假．
解答：解：（1）∵PA⊥矩形ABCD所在平面，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，而BC⊥AB，AB∩BC=B，
∴BC⊥面PAB，而PB?面PAB
则PB⊥BC，即P，B两点间的距离等于P到BC的距离，故（1）正确；
（2）如正方体中A₁B₁∥CD，A₁B₁?面ABCD，CD?面ABCD，此时A₁B₁与CD的距离不等于A₁B₁与面ABCD的距离，故（2）不正确；
（3）直线a，b是异面直线，a?α，b∥α则将b移到与a相交得到的平面即为α，根据异面直线的公垂线段长即为异面直线的距离可知a，b之间的距离等于b与α之间的距离，故（3）正确；
（4）两个异面直线之间的公垂线段与两个平面都垂直，故两个异面直线之间的距离即两个平面之间的距离，故（4）正确．
故有3个正确命题
故选C．
点评：本题主要考查空间中两个平面之间的线面距、点面距、面面距，重点考查对概念的理解与空间想象能力，属于中档题．