题目内容

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）
（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；
（2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若…对一切n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】分析：（1）先对关系式an+1=an+2n+1整理可得到）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1，即数列{an-2n}为等差数列，
（2）根据（1）可求出数列{an-2n}的通项公式，即可得到数列{an}的通项公式，根据bn=log2（an+1-n），可得到bn的表达式，设f（n）=…（1+）×，分析可得f（n）的最小值，结合题意即可得答案．
解答：解：（1）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=log2（an+1-n）=n
设f（n）=…（1+）×，（n≥2）
则f（n+1）=…（1+）×（1+）×，
两式相除可得=（1+）×=＞1，
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=，
要使…对一切n∈N*且n≥2恒成立，
必有k＜；
故k的取值范围是k＜．
点评：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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