题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ，弦BC过椭圆的中心O，且 $数学公式$ ，则椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：首先根据向量知识得出|BC|=2|AC|，AC⊥BC，由B、C关于原点的对称性，所以|BC|=2|AC|可得|OC|=|AC|，由此可得C点的横坐标，由AC⊥BC可求出C点的纵坐标，再由点C在椭圆上可求得a、b、c的一个关系式，结合椭圆中a²=b²+c²，即可求出离心率．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，
∴|BC|=2|AC|，AC⊥BC，
由|BC|=2|AC|可得|OC|=|AC|，所以C点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，设C（ $\text{[math]}$ ，y），
由AC⊥BC，则 $\text{[math]}$ ，又因为点C在椭圆上，代入椭圆方程得： $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以e= $\text{[math]}$ ，
故选D
点评：本题考查椭圆的离心率的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．

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A．