Question

（1）试用ε-δ语言叙述“函数f（x）在点x=x₀处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x₀处连续，且f（x₀）＞0，则存在一个x₀的（x₀-δ，x₀+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

Answer 1

解：（1）若对于任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得当|x-x₀|＜δ时，
总有|f（x）-f（x₀）|＜ε，则称函数f（x）在点x₀处连续；
（2）证：由已知f（x）在点x=x₀处连续，
且f（x₀）＞0，
所以，由定义，对于给定的ε=＞0，
必存在δ＞0，当|x-x₀|＜δ时，
有|f（x）-f（x₀）|＜，
从而f（x）＞f（x₀）-=＞0
即在（x₀-δ，x₀+δ）内处处有f（x）＞0．
分析：（1）因为函数的连续性是用极限来定义的，因而可用ε-δ的方式来描述；
（2）因为f（x）在点x=x₀处连续，利用（1）中的定义找ε=＞0，则有|f（x）-f（x₀）|＜，即可得到f（x）处处大于0．
点评：考查学生会用ε-δ语言叙述函数连续定义，并运用ε-δ语言描述的连续定义解决实际问题．解题时要正确理解函数的连续性．