Question

已知与圆C：x²＋y²－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，
OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．
(Ⅰ)求证：(a－2)(b－2)＝2；
(Ⅱ)求线段AB中点的轨迹方程；
(Ⅲ)求△AOB面积的最小值．

Answer 1

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) (x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1) (Ⅲ) 3＋2

本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，轨迹方程，直线与圆的位置关系，考查的解题方法为坐标法，难度中等．
（1）由已知中圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线交x轴、y轴于A、B两点|OA|=a，|OB|=b，我们设以分别求出直线的一般方程，和圆的标准方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径得到结论；
（2）设线段AB的中点M（x，y），代入（1）的结论，整理后，即可得到答案；
（3）S_△AOB= |ab|，结合（1）的结论，及均值不等式，即可得到答案．
(Ⅰ)证明：圆的标准方程是(x－1)²＋(y－1)²＝1，设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝＝1，………………………2分
即a²＋b²＋a²b²＋2ab－2a²b－2ab²＝a²＋b²，即a²b²＋2ab－2a²b－2ab²＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.……………………………4分
(Ⅱ)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1).……………………………………………………………8分
(Ⅲ)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋ (舍去≤2－)，………………………………………………………………………10分
当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4，所以△AOB面积的最小值是3＋2.…12分