Question

设命题P：a²＜a，命题Q：对任何x∈R，都有x²+4ax+1＞0，命题P且Q为假，P或Q为真，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先求出命题P，Q成立的等价条件，然后利用P且Q为假，P或Q为真，即可求实数a的取值范围．

解答：解：由a²＜a得0＜a＜1，即P：0＜a＜1，
若对任何x∈R，都有x²+4ax+1＞0，
则判别式△=16a²-4＜0，即a2＜

1

4

，
解得-

1

2

＜a＜

1

2

，即Q：-

1

2

＜a＜

1

2

．
∵命题P且Q为假，P或Q为真，
∴P，Q为一真一假，
若P真Q假，则

0＜a＜1 a≥ 1 2 或a≤- 1 2

，解得

1

2

≤a＜1．
若P假，Q真，则

a≥1或a≤0 - 1 2 ＜a＜ 1 2

，
解得-

1

2

＜a≤0，
综上：-

1

2

＜a≤0或

1

2

≤a＜1．
故答案为：-

1

2

＜a≤0或

1

2

≤a＜1．

点评：本题主要考查复合命题的真假判断和应用，利用条件先求出P，Q的等价条件是解决本题的关键．