题目内容

过双曲线M：x²- $数学公式$ =1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两渐近线分别交于B，C两点，且 $数学公式$ = $数学公式$ ，则双曲线的离心率是________．

$\text{[math]}$
分析：根据双曲线方程，得渐近线方程为y=-bx或y=bx．设直线l的方程为y=x+1，与渐近线方程联解分别得到B、C的横坐标关于b的式子．由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 得B为AC的中点，利用中点坐标公式建立关于b的方程并解之可得b=3，由此算出c= $\text{[math]}$ ，即可得到该双曲线的离心率．
解答：由题可知A（-1，0）所以直线l的方程为y=x+1
∵双曲线M的方程为x²- $\text{[math]}$ =1，∴两条渐近线方程为y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx联解，得B的横坐标为x_B=- $\text{[math]}$
同理可得C的横坐标为x_C= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴B为AC中点，可得2x_B=x_A+x_C，
即- $\text{[math]}$ •2=-1+ $\text{[math]}$ ，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得双曲线的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A的直线相交于B、C两点且B为AC的中点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．