Question

已知函数y=的图象过点M(m-2,0),m∈R,有f(x-2)=ax²-(a-3)x+(a-2),其中a为负整数.设g(x)=f［］,F(x)=p·g(x)-4.

       (1)求的表达式;

       (2)是否存在正实数p，使F(x)在(-∞,f(2)］上是增函数，在(f(2),0)上是减函数？

      

Answer 1

解析：(1)∵图象过点M(m-2,0),?

       ∴m-2是方程ax²-(a-3)x+(a-2)=0的解，即方程存在实根.?

       ∴Δ≥0.?

       又Δ=［-(a-3)］²-4a(a-2)≥0,?

       解得.?

       ∵a是负整数，∴a=-1.?

       ∴f(x-2)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1.?

       ∴=1-x².?

       (2)由上式f(2)=-3,g(x)=1-(1-x²)²=2x²-x⁴,F(x)=p(2x²-x⁴)-4(1-x²).?

       假设存在正实数p使F(x)在(-∞,-3］上是增函数，在(-3,0)上是减函数，由于F(x)可导，∴F′(-3)=0且F′(x)=4(p+2)x-4px³.?

       由F′(-3)=0，得p=.而当p=时，F′(x)=-x(x+3)(x-3).?

       ∴当x<-3时，F′(x)>0,F(x)在(-∞,-3］上为增函数;?

       当-3<x<0时，F′(x)<0,F(x)在(-3,0)上为减函数.?

       综上，满足条件的p存在且p=.