题目内容

如图，椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1 （a＞b＞0）的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=-1上，且椭圆的离心率e= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．

（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意，得b=1．（1分）
∵e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a²-c²=b²=1，
∴a²=4．（3分）
∴椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）证明：设P（x₁，y₁），x₁≠0，
则Q（0，y₁），且 $\text{[math]}$ ．
∵M为线段PQ中点，∴M（ $\text{[math]}$ ）．（5分）
又A（0，1），∴直线AM的方程为y= $\text{[math]}$ ．
∵x₁≠0，∴y₁≠1．
令y=-1，得C（ $\text{[math]}$ ）．（8分）
又B（0，-1），N为线段BC的中点，
∴N（ $\text{[math]}$ ，-1）．（9分）
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）．（10分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +y₁•（y₁+1）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=1-（1+y₁）+y₁=0．（12分）
∴OM⊥MN．
分析：（Ⅰ）依题意，得b=1．由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），x₁≠0，则Q（0，y₁），且 $\text{[math]}$ ．由M为线段PQ中点，知M（ $\text{[math]}$ ）．由A（0，1），知直线AM的方程为y= $\text{[math]}$ ．由此能够证明OM⊥MN．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段垂直的证明．解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的灵活运用，合理地进行等价转化．