Question

三棱锥P-ABC，底面ABC为边长为2

3

的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（Ⅰ）求证DO∥面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥AC；
（Ⅲ）设M为PC中点，求二面角M-BD-O的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE，通过DO∥PE，利用直线与平面平行的判定定理，证明求证DO∥面PBC；
（Ⅱ）通过证明AC⊥平面DOB，利用直线与平面垂直的性质定理证明BD⊥AC；
（Ⅲ）设M为PC中点，以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、D、M的坐标，求出向量

BM

，

DB

，设出平面BDM的法向量为

n

，利用

n • DB =0 n • BM =0

，求出

n

，利用cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n || AC |

求二面角M-BD-O的余弦值．

解答：（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE．
∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
且E为BC中点．又AD=2DP，
∴DO∥PE，--------------（2分）
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC
∴DO∥面PBC．--------------（4分）
（Ⅱ）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，--------------（5分）
由（Ⅰ）知，DO∥PE，
∴DO⊥平面PBC，
∴DO⊥AC--------------（6分）
连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．--------------（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，
所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(3，0，0)，B(0，

3

，0)，P(0，0，1)，D(1，0，

2

3

)，C(0，-

3

，0)，M(0，-

3

2

，

1

2

)------------（9分）
∴

BM

=(0，-

3 3

2

，

1

2

)，

DB

=(-1，

3

，-

2

3

)
设平面BDM的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • DB =-x+ 3 y- 2 3 z=0 n • BM =- 3 3 2 y+ 1 2 z=0

，
令y=1，则

n

=(-

3

，1，3

3

)．--------------（10分）
由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，
∴

AC

=(-3，-

3

，0)为平面DBO的法向量，
∴cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n || AC |

=

3 3 - 3

3+1+27 • 9+3

=

31

31

，
由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为

31

31

．--------------（12分）

点评：本题考查直线与平面的平行的判断，在与平面垂直的性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，以及逻辑推理能力．