Question

设虚数z满足z2-mtz+

m100

4

=0(m为实常数，m＞0且m≠1，t为实数）．
（1）求|z|的值；
（2）当t∈N^*，求所有虚数z的实部和；
（3）设虚数z对应的向量为

OA

（O为坐标原点），

OA

=(c，d)，如c-d＞0，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二次方程的求根公式求出z，利用复数的模的公式求出z的模．
（2）据z为虚数得到m^t＜m⁵⁰，通过对m分类讨论，利用指数函数的单调性得到t的范围；利用等比数列的前n项和公式求出s．
（3）由（1）求出z的实部、虚部，通过对m分类讨论利用指数函数的单调性及对数函数的单调性求出t的范围．

解答：解：（1）z=

mt± m100-m2t i

2

，
z=

mt± m100-m2t i

∴|z|=

m2t 4 + m100-m2t 4

=

m50

2

（2）z是虚数，则m¹⁰⁰-m^2t＞0∴m^t＜m⁵⁰，z的实部为

mt

2

；
当m＞1，得t＜50且t∈N*∴S=2(

m

2

+

m2

2

++

m49

2

)=

m50-m

m-1

0＜m＜1，得t＞50且t∈N*∴S=2(

m51

2

+

m52

2

+)=

m51

1-m

．
（3）解：c=

mt

2

＞0，d=

± m100-m2t

2

①d=-

m100-22t

2

，c＞dd=

m100-m2t

2

，d=-

m100-22t

2

，c＞d恒成立，
由m¹⁰⁰-m^2t＞0∴m^t＜m⁵⁰得，当m＞1时，t＜50；当0＜m＜1时，t＞50．
②d=

m100-m2t

2

，如c＞d，则

mt

2

＞

m100-m2t

2

∴m2t＞

m100

2

即mt＞

m50

2

，
当m＞1，

t＜50 t＞50- 1 2 logm2

即50-

1

2

logm2＜t＜50，50-

1

2

logm2＜t＜50．
当0＜m＜1，

t＞50 t＜50- 1 2 logm2

即50＜t＜50-

1

2

logm2，50＜t＜50-

1

2

logm2

点评：本题考查二次方程的求根公式、考查复数模的公式、考查指数函数的单调性及对数函数的单调性与底数的范围有关、考查等比数列的前n项和公式．