题目内容
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°.
(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°.
(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°.
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°.
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
①
②见解析
【解析】①选择(2)式计算如下sin215°+cos215°-
sin 15°cos 15°=1-
sin 30°=.
②三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=
.
证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+
sinαcosα+
sin2α-sinαcosα-
sin2α
=sin2α+cos2α=.
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