题目内容

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，AB=BC=2，AA1=2
2
．
（1）求证：BC⊥平面A1ABB1；
（2）求直线A1B与平面A1AC成角的正弦值．
（1）∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，
∴BC⊥AB，BC⊥BB1，
又∵AB∩BB1=B，
∴BC⊥平面A1ABB1．
（2）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，AB=BC=2，AA1=2
2
，
∴A1(2，0，2
2
)，B（2，2，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
∴
AA1
=（0，0，2
2
），
AC
=（-2，2，0），
A1B
=（0，2，-2
2
）
设平面A1AC的法向量为
n
=（x，y，z），则
n
•
AA1
=0，
n
•
AC
=0，
∴
2
2
z=0
-2x+2y=0
，解得
n
=（1，1，0），
设直线A1B与平面A1AC成角为θ，
则sinθ=|cos＜
n
，
A1B
＞|=|
0+2+0
2
•
12
|=
6
6
．
练习册系列答案
相关题目
已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证：AM∥平面EFG．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=CF=3．
（1）求B1F与平面BCC1B1所成角的正切值；
（2）求证：B1F⊥D1E．
在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=
π
2
，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且
SE
=
1
3
SD
，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．
（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点，E为BC1的中点
（1）求证：OE∥平面A1AB；
（2）求二面角A-A1B-C1的正弦值．
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求证：BD⊥PC；
（2）求三棱锥A-PCD的体积；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．
平面α的一个法向量为
n
=(1，-
3
，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
4
D．
5π
6
已知二面角α-l-β，点A∈α，B∈β，AC⊥l于点C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求证：AB=2的充要条件α-l-β=1200．

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