Question

已知数列{a_n}的每一项都是非负实数，且对任意m，n∈N^*有a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1．
又知a₂=0，a₃＞0，a₉₉=33．则a₃=

 

，a₁₀=

 

．

Answer 1

分析：本题的题意不是求通项公式，a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1这类递推式子较少见到，理解不到位很容易出现偏差，本题应当求出a₁的值，再利用a₃=a₁+a₂求出a₃，对a₁₀的求解需要确定范围，才能进一步求出．

解答：解：（1）由已知：a₂=a₁+a₁=0或a₂=a₁+a₁+1=0，所以2a₁=0或2a₁=0-1=-1，又因为a_n≥0，所以a₁=0；
所以a₃=a₁+a₂=0或a₃=a₁+a₂+1=1，由已知a₃＞0，所以a₃=1
（2）由（1）及已知a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1，a₁=a₂=0，a₃=1可知对任意n∈N^*，a_n∈Z，a_m+n=a_m+a_n或a_m+n=a_m+a_n+1，反复利用上式可得33=a₉₉≥a₈₉+a₁₀≥a₇₉+2a₁₀≥…≥9a₁₀+3a₃=9a₁₀+3，所以a10≤

30

9

，同理可得33=a₉₉≤9a₁₀+3a₃+11
所以a10≥

19

9

，即有

19

9

≤a10≤

30

9

，又因为a_n∈Z，所以a₁₀=3．

点评：这是一道稍有难度的递推数列题目，难在打破常规，并非是由递推公式求通项公式，而是求某一项或某几项的值，这样对问题的分析思路有所变化，处理上有一定的技巧因此增加了难度；又有分类讨论思想，函数，不等式左右夹逼思想的应用，因此综合性较强．