Question

如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，，且AC=BC.
（1）求证：平面EBC；
（2）求二面角的大小.

Answer 1

（1）祥见解析；(2)．

试题分析：由已知四边形是正方形，知其两条对角线互相垂直平分，且，又因为平面平面，平面，故可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系；又因为正方形ACDE的边长为2，且三角形ABC是以角C为直角的直角三角形，从而就可以写出点A，B，C，E及点M的空间直角坐标；则（1）求出向量的坐标，从而可证，这样就可证明直线AM与平面EBC内的两条相交直线垂直，故得直线AM与平面EBC垂直；(2)由（1）知是平面EBC的一个法向量，其坐标已求，再设平面EAB的一个法向量为，则由且，可求得平面EAB的一个法向量；从而可求出所求二面角的两个面的法向量夹角的余弦值，由图可知所求二面角为锐二面角，故二面角的余弦值等于两个面的法向量夹角余弦值的绝对值，从而就可求得所求二面角的大小．另本题也可用几何方法求解证明．
试题解析：∵四边形是正方形 ， ，
∵平面平面，平面，           
∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，    
分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，
是正方形的对角线的交点，．

(1) ，，，
，    
      
平面．        
(2) 设平面的法向量为，则且，
且．
     即      
取，则， 则．
又∵为平面的一个法向量，且，
，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角等于．
（1） ，（2）均可用几何法