Question

已知f(x)=

1-x2

|x+2|-2

•lg(

1+x2

-x)的奇偶性是

偶函数

．

Answer 1

分析：先将f(x)=

1-x2

|x+2|-2

•lg(

1+x2

-x)分解成两个函数，分别求其定义域看其是否对称，再判断f（-x）与f（x）的关系有f（-x）-f（x），结合奇偶性的定义，以及两个奇函数乘积是偶函数可得答案．

解答：解：f(x)=

1-x2

|x+2|-2

的定义域为[-1，0）∪（0，1]
∴f(x)=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x

又∵f（-x）=-f（x）
∴函数f(x)=

1-x2

|x+2|-2

是奇函数
由

x2+1

-x＞0，解得x∈R
又∵f（-x）=lg（

x2+1

+x）=lg（

1

x2+1 -x

）=-lg（

x2+1

-x）=-f（x）
∴函数lg（

x2+1

-x）是奇函数．
∴f(x)=

1-x2

|x+2|-2

•lg(

1+x2

-x)是偶函数
故答案为：偶函数

点评：本题主要考查奇偶性的判断，一是看定义域是否关于原点对称，二是看-x与x函数值之间的关系，同时考查两个奇函数乘积是偶函数，属于基础题．