Question

设椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，过椭圆外一点M（0，2）作直线l交椭圆与A，B两点，若△AOB的面积最大值为

2

，求此椭圆方程和直线l的方程．

Answer 1

分析：由于e=

2

2

，所以设椭圆方程为：

x2

2c2

+

y2

c2

=1，设直线l方程为：y=kx+2，两者联立，又借助于△AOB的面积最大值为

2

，可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0，从而S≤

c2

2

，故问题得解．

解答：解：∵e=

2

2

，∴可设椭圆方程为：

x2

2c2

+

y2

c2

=1，显然直线l的斜率存在，
设直线l方程为：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…1'
由

y=kx+2 x2 2c2 + y2 c2 =1

消去y整理，得（1+2k²）x²+8kx+8-2c²=0，
由韦达定理得，x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1x2=

8-2c2

1+2k2

…3′
∴S△AOB=

1

2

×2×|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16c2k2+8c2-32 4k2+4k+1

…6′
可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0（*）…8'
∵k²有解，∴△=（4S²-16c²）²-4×4S²×（S²-8c²+32）≥0，
解得，S≤

c2

2

…10'
∴Smin=

c2

2

=

2

，∴c²=2，将c²=2，S=

2

代入（*）得，k=±

6

2

…13'
综上所述，椭圆方程为：

x2

4

+

y2

2

=1，直线l的方程为：y=±

6

2

x+2，…14'

点评：本题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点，每年必考．一般都是联立直线与圆锥曲线方程消去一个未知数，得到一元二次方程，表示出两根之和与两根之积，再结合题意来解．