题目内容
若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
分析：先根据题意可推断出直线l过圆的直径，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把
+
整理成（4a+b）（
+
）的形式展开后利用基本不等式求得答案．
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
解答：解：整理圆的方程得（x+4）2+（y+1）2=16，
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴
+
=（4a+b）（
+
）=8+
+
≥8+2
=16（当且仅当
=
时等号成立．）
故答案为：16
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 16a |
| b |
| b |
| a |
|
| 16a |
| b |
| b |
| a |
故答案为：16
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线与圆的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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