Question

已知动圆M：x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0与圆N：x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周．
（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；
（2）求半径最小时圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意得圆M的圆心坐标为（m，n），欲求点动圆M的圆心的轨迹方程，只须求出其坐标m，n 的关系式即可，由图中直角三角形AMN利用勾股定理得到一个关系式，化简即得圆心的轨迹方程．
（2）欲求半径最小时圆M的方程，由于圆M半径r=

n2+1

，只须求出n的取值范围即可．

解答：解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N（-1，-1）为弦AB的中点，在Rt△AMN中，
|AM|²=|AN|²+|MN|²，
∴（m+1）²=-2（n+2）．（*）
故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）²=-2（y+2）．
（2）由（*）式，知（m+1）²=-2（n+2）≥0，于是有n≤-2．
而圆M半径r=

n2+1

≥

5

，
∴当r=

5

时，n=-2，m=-1，所求圆的方程为（x+1）²+（y+2）²=5．

点评：本小题主要考查圆与圆的位置关系、曲线与方程、函数最值等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．