题目内容

已知圆A：（x+2）²+y²=32，圆P过定点B（2，0）且与圆A内切．
（1）求圆心P的轨迹方程C；
（2）过Q（0，3）作直线l交P的轨迹C于M、N两点，O为原点．当△MON面积最大时，求此时直线l的斜率．

解：（1）由题意，两圆相内切，故|PA|=4 $\text{[math]}$ -|PB|，即|PA|+|PB|=4 $\text{[math]}$ ．
又∵AB=4＜4 $\text{[math]}$
∴动圆的圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4 $\text{[math]}$ 的椭圆．
动点P的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：x=m（y-3），直线与x轴的交点为A（-3m，0）
S_△MON= $\text{[math]}$ |OA|•|y₁-y2|
把x=m（y-3），代入椭圆方程，得m²（y-3）²+2y²-8=0，
即（m²+2）y²-6m²y-8+9m²=0，△=64-40m²＞0，?m² $\text{[math]}$
y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$ ，
|y₁-y₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_△AOB= $\text{[math]}$ |3m| $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，令t= $\text{[math]}$ ，
所以S_△AOB= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，当t= $\text{[math]}$ 时，即m²= $\text{[math]}$ 时面积取得最大值．
此时直线的斜率为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用动圆P与定圆（x+2）²+y²=32相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：y=kx+3，通过S_△MON的表达式求出△OAB的面积的最大值时直线l的斜率．
点评：本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度．