Question

已知函数f（x）=x²+px+q，不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜5}
（1）求实数p，q的值；
（2）若当2≤x≤5时，f（x）＜x+m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若实数m＞0，解关于x的不等式f（x）＜mx²-6x+m+11．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数f（x）=x²+px+q，当f（x）＜0时，有2＜x＜5，可得2，5是方程x²+px+q=0的两根，利用韦达定理可求p和q的值；
（2）函数在区间上恒成立问题，要转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．
（3）因为最高次幂位置有参数m，故需要分类讨论，利用不等式对应的二次函数图象和性质解决．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²+px+q，当f（x）＜0时，有2＜x＜5．
∴2，5是方程x²+px+q=0的两根
∴

-p=2+5 q=2×5

∴p=-7，q=10；
（2）由题意知，m＞x²-8x+10在[2，5]上恒成立，
又x²-8x+10=（x-4）²-6，当x=4时有最大值-2，
所以m＞-2．
（3）即解不等式（m-1）x²+x+m+1＞0，m＞0，
①当m=1时，x＞-2；
②当0＜m＜1时，△＞0，

-1+ 5-4m2

2(m-1)

＜x＜

-1- 5-4m2

2(m-1)

；
③当1＜m＜

5

2

时，△＞0，x＜

-1- 5-4m2

2(m-1)

 或x＞

-1+ 5-4m2

2(m-1)

；
④当m=

5

2

时，△=0，x≠

-1

2(m-1)

；
⑤当m＞

5

2

时，△＜0，x∈R．

点评：本题重点考查解不等式，考查不等式的解集与方程解之间的关系，考查函数恒成立问题的解决思路和方法，考查函数与不等式的综合问题，考查学生的转化与化归的思想和方法、解不等式的思想．